Naïl BOUBERBACHENE
Titre de la thèse : Etude des représentations génériques scindées des groupes linéaires
Depuis les années 1950 et les travaux d’Eilenberg et MacLane, l’étude des foncteurs entre modules s’est révélée importante en topologie algébrique, en théorie des représentations et en K-théorie algébrique. Des travaux récents, dont ceux de Nagpal, Gaujal et Djament-Vespa, ont approfondi la compréhension de ces catégories de foncteurs. Le projet de thèse consiste à s’en inspirer pour étudier des propriétés structurales (notamment, classifier les foncteurs simples) et homologiques des foncteurs depuis la catégorie des A-modules libres de rang fini (où A est un anneau) avec monomorphismes scindés munis d’un scindement vers la catégorie des k-modules (où k est un anneau commutatif) avec applications k-linéaires. De tels foncteurs fournissent par évalutation des familles cohérentes de représentation k-linéaires des groupes linéaires de A. On pourra étudier les foncteurs polynomiaux ou des variantes appropriées, déterminer des propriétés de finitude de tels foncteurs et s’inspirer des méthodes classiques que sont l’induction et la restriction paraboliques pour les représentations (usuelles) des groupes linéaires, pour étudier le cas (étudié par Nagpal puis Gaujal dans des catégories similaires) où A est un anneau fini et k un corps dans lequel le cardinal de A est inversible.
Thesis title : Study of Split Generic Representations of Linear Groups
Since the 1950s and the work of Eilenberg and Mac Lane, the study of functors between modules has proved important in algebraic topology, representation theory, and algebraic K-theory. Recent work, including that of Nagpal, Gaujal, and Djament–Vespa, has deepened our understanding of these categories of functors. This PhD project draws on these developments to investigate structural (in particular, the classification of simple functors) and homological properties of functors from the category of finitely generated free A-modules with split monomorphisms equipped with a splitting, to the category of k-modules (where k is a commutative ring) with k-linear maps. Such functors yield, by evaluation, coherent families of k-linear representations of the linear groups over A. The thesis aims to study polynomial functors or suitable variants, determine finiteness properties of such functors, and adapt classical methods such as parabolic induction and restriction for (ordinary) representations of linear groups, to the case—studied by Nagpal and then by Gaujal in similar categories—where A is a finite ring and k is a field in which the cardinality of A is invertible.
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