Alaa Eddine Islem TABET AOUL
Titre de la thèse : Polymères dirigés, particules en interactions, et EDPs stochastiques
Le sujet de thèse se situe dans le domaine des probabilités et de la physique mathématique, à l’interface entre mécanique statistique et équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS).
L’objet central de la thèse sera l’équation de la chaleur stochastique en dimension d=2, qui est une EDP stochastique singulière. La dimension d=2 est critique et il s’avère qu’une procédure subtile de renormalisation doit être effectuée pour lui donner un sens.
Une percée récente de Caravenna, Sun et Zygouras (2023) considère une version discrétisée de l’équation de la chaleur stochastique, le modèle de polymère dirigé, issu de la mécanique statistique : ils montrent que dans un régime critique de paramètres bien précis, les fonctions de partition du modèle convergent vers un objet limite non-dégénéré, appelé critical 2d Stochastic Heat Flow (SHF).
Le but général sera d’étudier quelques propriétés des polymères dirigés et du SHF. On commencera par considérer la structure de leurs moments, reliés à des systèmes de particules browniennes en interaction lors de leurs collisions, les interactions étant là encore singulières en dimension d=2. Un objectif sera d’étudier les propriétés d’universalité de ces systèmes de particules, puis du SHF.
Thesis title : Directed polymers, interacting particles, and stochastic PDEs
This PhD project lies at the interface between probability theory and mathematical physics, connecting statistical mechanics with stochastic partial differential equations (SPDEs).
The central object of the thesis is the stochastic heat equation in dimension (d=2), a singular SPDE for which a subtle renormalization procedure is required to obtain a meaningful limiting object. The two-dimensional case is critical and presents significant mathematical challenges.
A recent breakthrough by Caravenna, Sun and Zygouras (2023) introduced a discretized version of the stochastic heat equation through the directed polymer model from statistical mechanics. They proved that, in a precisely tuned critical regime, the corresponding partition functions converge to a non-degenerate limiting object, referred to as the critical 2D Stochastic Heat Flow (SHF).
The main goal of this thesis is to investigate fundamental properties of directed polymers and the SHF. We will first study their moment structure, which is closely related to systems of interacting Brownian particles, with singular interactions occurring when particles collide. A particular focus will be placed on the universality properties of these interacting particle systems and, ultimately, of the SHF.
Contactez-nous !
Campus de Villetaneuse
@univ_SPN