Soutenances de thèse

Cette thèse porte sur les relations entières de périodes automorphes pour des cas de la fonctorialité de Langlands. Plus particulièrement, nous nous intéressons aux changements de base vers $\mathrm{GL}_3(E)$, où $E$ est un corps de nombres quadratique réel. Nous établissons une divisibilité $p$-adique entre les périodes automorphes d’une représentation automorphe cuspidale de $\mathrm{GL}_3(\mathbb{Q})$ et les périodes de son changement de base à $\mathrm{GL}_3(E)$. Cela généralise les résultats de Tilouine-Urban et Hida pour les formes modulaires. Nous démontrons aussi une divisibilité similaire pour le changement de base stable du groupe unitaire $U_E$ déployé sur $E$ à $\mathrm{GL}_3(E)$. Ces divisibilités font intervenir des périodes automorphes d’un genre nouveau, que nous définissons à l’intérieur de la cohomologie cuspidale de $\mathrm{GL}_3(E)$ de degré médian, plutôt qu’en degrés extrémaux. Pour prouver ces divisibilités, nous établissons un certain nombre de formules adjointes, pour ces différents groupes, et pour leurs transferts. Ces formules expriment certaines valeurs spéciales de fonctions L adjointes comme le produit d’une période automorphe et d’un nombre de congruences, et peuvent être considérées comme des analogues automorphes des formules conjecturales de Bloch-Kato pour les motifs correspondant

Cette thèse explore l’application de l’apprentissage automatique à la relaxation lagrangienne, où certaines contraintes sont dualisées et intégrées dans la fonction objectif sous forme de pénalités. Chaque vecteur de multiplicateurs de Lagrange fournit une borne différente ; la meilleure est obtenue en résolvant le dual lagrangien, souvent via la méthode des faisceaux. Nous proposons d’abord un modèle prédictif pour les multiplicateurs de Lagrange, combinant un encodeur probabiliste et un décodeur déterministe. L’encodeur projette l’instance, représentée comme un graphe biparti, dans un espace latent capturant la structure des contraintes dualisées. Le décodeur prédit ensuite un multiplicateur par contrainte. Ce modèle, entraîné sans supervision, maximise directement la borne lagrangienne et permet d’initialiser ou remplacer la méthode des faisceaux. Ensuite, nous introduisons un modèle qui ajuste dynamiquement, à chaque itération, les paramètres de la méthode des faisceaux, définissant le pas et le poids de la régularisation. Il est entraîné par rétropropagation via une approximation du gradient obtenue par unrolling, exploitant la structure de la solution du problème quadratique résolu à chaque itération. Enfin, nous remplaçons entièrement l’étape de résolution quadratique par un modèle d’apprentissage. Un réseau récurrent avec attention agrège les sous-gradients passés pour prédire directement la nouvelle direction. Ce modèle, différentiable de bout en bout, imite le comportement de la méthode des faisceaux tout en permettant un apprentissage global. Il constitue un optimiseur appris, ouvrant des perspectives en méta-apprentissage et optimisation avancée.

Les données de grande dimension sont courantes dans des domaines tels que la génomique, le traitement d’images et l’analyse des réseaux sociaux. Elles posent des défis importants en matière d’analyse computationnelle et statistique. L’augmentation de la taille des ensembles de données dans ces différents domaines accroît le besoin d’outils efficaces d’approximation des données. Même si la dimension des données peut être grande, leur dimension intrinsèque, c’est-à-dire la dimension minimale de l’information qu’elles contiennent, peut être réduite. Cela est représenté à travers des concepts tels que la dimension VC, que nous discutons dans ce travail. Nous concentrons notre étude sur la recherche d’algorithmes efficaces pour de grands ensembles de données de dimension intrinsèque fixe. Dans cette thèse, nous présentons des algorithmes pour calculer des structures fondamentales de la réduction combinatoire des données : $epsilon$-approximations, $delta$-recouvrements,  colorations à faible discrépance et partitions à faibles croisements. En particulier, nous étudions les trois problèmes suivants. Dans la première partie, nous présentons un nouveau jeu à deux joueurs et  montrons l’existence d’une stratégie quasi-optimale en utilisant le célèbre algorithme de discrépance de Lovett-Meka. Dans la deuxième partie, nous présentons un nouvel algorithme de partition à faibles croisements pour les systèmes d’ensembles généraux. Enfin, nous présentons de nouveaux algorithmes pour calculer des $delta$-recouvrements  quasi minimaux de systèmes d’ensembles de dimension VC finie.